\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}

\chead{Devoir maison n°11(bis)}
\lfoot{}
\cfoot{Suites, \'Etude de fonctions}

\begin{center}
\fbox{ \Large A rendre pour le 20 Février 2019}
\end{center}
\vspace{30pt}

\section*{Exercice 1 - \'Etude de fonction et suites} %EMLyon 2011

On souhaite déterminer le nombre de solutions de $(E) : x^3 -3x +1 = 0$ ainsi que la valeur approchée d'une des racines.
\begin{enumerate}
\item On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f :x  \to x^3 -3x+1$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ (c'est un polynôme) et 
$$
\forall x \in \R, \quad f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)
$$
On trace son tableau de variation
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f$/2}{$- \infty$,-1,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+, }
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/3,-/$-1$, +/$+\infty$}
%\tkzTabVal{1}{2}{0.5}{0}{0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On a alors :
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue sur $]- \infty ; -1[$.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $]- \infty ; -1[$.
\item $f(]-\infty ; -1[) = ]- \infty ; 3[$ et $0 \in ]- \infty ; 3[$.
\end{itemize}
D'après le théorème de la bijection, il existe un unique réel $\alpha < -1$ tel que $f(\alpha) = 0$. \\

De la même façon, 
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue sur $]-1 ; 1[$.
\item La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-1 ; 1[$.
\item $f(]-1 ; 1[) = ]- 1 ; 3[$ et $0 \in ]- 1 ; 3[$.
\end{itemize}
D'après le théorème de la bijection, il existe un unique réel $-1 < \beta < 1$ tel que $f(\beta) = 0$. \\

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est continue sur $]1 ; + \infty[$.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur $]1 ; + \infty[$.
\item $f(]1 ; + \infty[) = ]- 1 ; +\infty[$ et $0 \in ]- 1 ; +\infty[$.
\end{itemize}
D'après le théorème de la bijection, il existe un unique réel $1 < \gamma $ tel que $f(\gamma) = 0$. 
\begin{center}
\fbox{Ainsi, l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet 3 solutions $\alpha, \beta, \gamma$ vérifiant $\alpha < -1 < \beta < 1 < \gamma$.  }
\end{center}
\item On veut obtenir une approximation de $\beta$. On introduit $\forall x\in \R$, $g(x) =\dfrac{x^3 +1}{3}$ et la suite $u$ définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+1} = g(u_n)$. 
\begin{enumerate}
\item On a $f(0) = 1$ et $f(1/2) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} + 1= - \frac{3}{8}$. Ainsi, d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, \begin{center}
\fbox{$\beta \in [0,1/2]$.  }
Enfin, 
\begin{center}
\fbox{$
g(x) = x \Longleftrightarrow x^3 + 1 = 3x \Longleftrightarrow f(x) = 0
$}
\end{center}
\end{center}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[0,1/2]$ et 
$$
\forall x \in [0,1/2], \quad g'(x) = x^2 \geq 0
$$
La fonction $g$ est croissante et $g(0) = \frac{1}{3}$ et $g(1/2) = \frac{3}{8}$ donc $g([0,1/2]) = [1/3 , 3/8] \subset [0,1/2]$. 
\begin{center}
 \fbox{L'ensemble $[0,1/2]$ est stable par $g$.}
 \end{center} 
De plus $\forall x \in [0,1/2], x^2 \in [0,1/4]$, et donc
\begin{center}
 \fbox{ $\forall x \in [0,1/2], \quad |g'(x)| \leq \dfrac{1}{4}$.}
 \end{center} 
\item On montre les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ u_n \in [0,1/2]\right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$ donc la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc $u_n \in [0,1/2]$ et 
$$
u_{n+1} = f(u_n) \in [0,1/2]
$$
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1/2]$. }\\
	\end{itemize}
\item On sait que 
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0,1/2]$
\item Pour tout $x \in [0,1/2]$, $|g'(x)| \leq \dfrac{1}{4}$
\item Pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1/2]$ et $ \beta \in [0,1/2]$.
\end{itemize}
Donc d'après l'inégalité des accroissements finis, 
\begin{center}
\fbox{$
\forall n \in \N$, $|u_{n+1} - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4}|u_n - \beta|
$}
\end{center}
On montre par récurrence les propriétés suivantes $\P_n : \left\{ |u_n - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4^n}\times \dfrac{1}{2} \right\}$.
 \begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $u_0 = 0$, $\beta \in [0,1/2]$ donc $|u_0 - \beta| \leq \dfrac{1}{2}$ et la propriété $\mathscr{P}_0$ est vraie.  
	\item \textbf{Hérédité :} On suppose que $\P_n$ est vrai pour un certain rang $n$. On a donc 
\begin{align*}
|u_{n+1} - \beta| & \leqslant \dfrac{1}{4}|u_n - \beta| \\
& \leqslant \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4^n} \times \dfrac{1}{2} \\
& \leqslant \dfrac{1}{4^{n+1}} \times \dfrac{1}{2}
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie. On en déduit que la suite des proposition $(\P_n)$ est héréditaire. 
	\item \textbf{Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $|u_n - \beta| \leqslant \dfrac{1}{4^n}\times \dfrac{1}{2}$. }\\
	\end{itemize} 
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
& \dfrac{1}{4^n} \times \dfrac{1}{2} \leq 10^{-9} \\
\Longleftrightarrow \; & \dfrac{1}{4^n} \leq 2 \times 10^{-9} \\
\Longleftrightarrow \; & 4^n \geq \dfrac{10^9}{2} \\
\Longleftrightarrow \; & n \ln(4) \geq  \ln \left(\dfrac{10^9}{2} \right) \\
\Longleftrightarrow \; & n \geq   \dfrac{\ln\left(\dfrac{10^9}{2} \right) }{\ln(4)}
\end{align*} 
On a la relation $|u_n - \beta| \leq 10^{-9}$ pour \begin{center}
\fbox{$n= E\left(  \dfrac{\ln\left(\dfrac{10^9}{2} \right) }{\ln(4)} \right) + 1$}
\end{center}
où $E$ représente la fonction partie entière.
\item Programme Scilab :
\begin{verbatim}

function y = g(x)
    y = (x^3 + 1)/3
endfunction

n = floor(log(2 *10^(-9))/(-log(4))) + 1
u = 0
for k=1:n
    u = g(u)
end

disp('La solution obtenue par la méthode de l''exercice est x = ' + string(u) + '. On a obtenue cette solution pour n = ' +string(n) +'.')
disp(" ")
\end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newcommand\lra\longrightarrow
\newcommand\llra\longleftrightarrow
\newcommand\Llra\Longleftrightarrow
\def\ccl#1{\[ \boxed{#1}\]}
\section*{Exercice 2 - \'Etude de fonction et suites}
\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\N$, $u_n$ existe bien et est strictement positif.\\
Tout d'abord $u_0$ est bien défini et, par définition, $u_0>0$.\\
Soit $n\in\N$, supposons que $u_n$ existe et que $u_n>0$.\\
$u_n$ étant non nul, $\ds\frac{a}{u_n}$ est bien défini donc $u_{n+1}$ existe bien. De plus $u_n>0$ et $a>0$ donc $\ds\frac{a}{u_n}>0$ et $u_n+\ds\frac{a}{u_n}>0$ d'où $u_{n+1}>0$.\\
On peut alors affirmer, d'après le principe de récurrence, que
\ccl{\text{Pour tout $n\in\N$, $u_n$ existe bien et est strictement positif.}}
\item $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables et, pour tout $x>0$, $\ds f'(x)=\frac12\left(1-\frac{a}{x^2}\right)$. Ainsi, pour tout $x>0$,
$$f'(x)\geq0\Llra1\geq\frac a{x^2}\Llra x^2\geq a\Llra x\geq \sqrt{a} \text{ (car $x>0$ et $a>0$)}$$
$f$ est décroissante sur $]0,\sqrt{a}]$ et croissante sur $[\sqrt{a},+\infty[$ donc, pour tout $x>0$,\\
$f(x)\geq f(\sqrt{a})$. Or
$$f(\sqrt{a})=\frac12\left(\sqrt{a}+\frac a{\sqrt{a}}\right)=\frac12(2\sqrt{a})=\sqrt{a}.$$
\ccl{\forall x>0,~f(x)\geq\sqrt{a}.}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^\star$, on a $u_n=f(u_{n-1})$. Or $u_{n-1}>0$ d'après la question (1) donc la question (2) nous permet d'affirmer que
\ccl{\forall n\in\N^\star,~u_n\geq\sqrt{a}.}
\item Soit $n\in\N^\star$,
$$u_{n+1}-u_n=\frac12\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)-u_n=\frac12\left(\frac{a}u_n-u_n\right)=\frac12\frac{a-u_n^2}{u_n}.$$
Or $n\in\N^\star$ d'où $u_n\geq\sqrt{a}$ et $u_n^2\geq a$. On en déduit, puisque $u_n>0$, que $u_{n+1}-u_n\leq0$.
\ccl{\text{$(u_n)_{n\in\N^\star}$ est décroissante à partir du rang 1.}}
\item $(u_n)_{n\in\N^\star}$ est décroissante et minorée par $\sqrt{a}$ donc, d'après le théorème de la limite monotone, $(u_n)_{n\in\N^\star}$ converge vers $\ell\geq\sqrt{a}$. Ainsi
\ccl{\text{$(u_n)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\geq\sqrt{a}$.}}
\item $f$ est continue sur $[\sqrt{a},+\infty[$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$ donc $\ell=f(\ell)$. On a donc
$$\ell =\frac12\left(\ell+\frac a\ell\right)\Llra \frac12\left(\frac a\ell -\ell\right)=0\Llra\frac12\frac{a-\ell^2}\ell=0\Llra \ell^2=a \Llra \ell =\sqrt{a} \text{ car $\ell\geq\sqrt{a}\geq0$.}$$
\ccl{\text{$(u_n)_{n\in\N^\star}$ converge vers $\sqrt{a}$.}}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N$,
\begin{align*}
\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\frac{\frac12\left(u_n+\frac a{u_n}\right)-\sqrt{a}}{\frac12\left(u_n+\frac a{u_n}\right)+\sqrt{a}}=\frac{u_n+\frac a{u_n}-2\sqrt{a}}{u_n+\frac a{u_n}+2\sqrt{a}}=\frac{u_n^2+a-2\sqrt{a}u_n}{u_n^2+a+2\sqrt{a}u_n}=\frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{(u_n+\sqrt{a})^2}
\end{align*}
\ccl{\forall n\in\N,~\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}\right)^2.}
\item Montrons par récurrence sur $n$ que, pour tout $n\in\N$,
$$\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.$$
Tout d'abord, on a bien
$$\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^0}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^1=\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}.$$
Soit $n\in\N$, supposons que 
$$\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.$$
Alors, d'après la question (4)(a),
$$\frac{u_{n+1}-\sqrt{a}}{u_{n+1}+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}\right)^2=\left(\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}\right)^2=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2\times2^n}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^{n+1}}$$
donc l'égalité reste vraie au rang $n+1$.\\
D'après le principe de récurrence, on peut ainsi affirmer que
\ccl{\forall n\in\N,~\frac{u_n-\sqrt{a}}{u_n+\sqrt{a}}=\left(\frac{u_0-\sqrt{a}}{u_0+\sqrt{a}}\right)^{2^n}.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - Probabilités} %ESCP 2002 revu et adapté


Deux personnes $P_{1}$ et $P_{2}$ ont rendez-vous dans un complexe form\'{e}
de cinq sites $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, $S_{4}$ et $S_{5}$, dispos\'{e}s en
pentagone et reli\'{e}s par des routes, commel'illustre le sch\'{e}ma
ci-contre.Ils arrivent au rendez-vous \`{a} I'heure pr\'{e}vue, mais suite 
\`{a} un malentendu, $P_{1}$ se pr\'{e}sente au site $S_{1}$ et $P_{2}$ au
site $S_{2}$.Ils d\'{e}cident alors de partir \`{a} la recherche I'un de
l'autre. Ils empruntent les diff\'{e}rentes routes du complexe, avec les r%
\`{e}gles suivantes : .

\begin{itemize}
\item \`{a} partir d'un site, chacun choisit de se rendre sur l'un des deux
sites voisins, les deux possibilit\'{e}s \'{e}tant \'{e}quiprobables;

\item les d\'{e}placements des deux personnes se font simultan\'{e}ment;

\item tous les choix de d\'{e}placement se font ind\'{e}pendamment les uns
des autres.
\end{itemize}

Ils continuent \`{a} se d\'{e}placer ainsi jusqu'\`{a} se retrouver \'{e}%
ventuellement sur un m\^{e}me site (ils ne se rencontrent pas le long des
routes). Une fois retrouv\'{e}s, ils ne se d\'{e}placent plus.{\Large %
\medskip }

\textbf{A. Mod\'{e}lisatlon du probl\`{e}me}

Pour tout entier naturel n, on d\'{e}finit les trois \'{e}v\'{e}nements $%
A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$ :

\begin{itemize}
\item . $A_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur le m\^{e}me site apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $B_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont sur des sites adjacents apr%
\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $

\item $C_{n}$ : $\ll $ les deux personnes sont \`{a} deux routes de distance
apr\`{e}s le $n$-i\`{e}me d\'{e}placement$\gg $
\end{itemize}

\begin{center}
On note $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$ les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}%
nements $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La distance maximale entre deux sites est de deux routes ;\newline
Donc $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$.sont les seuls possibles.\newline
Comme ils sont de plus incompatibles, \newline
\textsl{Conclusion : }\fbox{ils forment un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}%
nements.}

\item A l'instant $0,$ ils sont \`{a} une route de distance donc \newline
\textsl{Conclusion : }\fbox{$a_{0}=0,\ b_{0}=1,\ c_{0}=0$}

\item 
\begin{enumerate}
\item Si les deux sont \`{a} deux routes de distance, ils se retrouvent sur
le m\^{e}me site \`{a} condition qu'ils se dirigent tout deux dans la
direction qui les rapproche.

Chacun le fait avec une probabilt\'{e} de $\frac{1}{2}$ donc \textsl{%
Conclusion : }\fbox{$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( A_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$.}

\item S'ils sont tous les deux sur le m\^{e}me site, ils ne bougent plus,
donc ils restent ensemble.

\textsl{Conclusion : }\fbox{$P_{A_{n}}\left( A_{n+1}\right) =1$}

\item Pour cette m\^{e}me raison : $\mathrm{P}_{A_{n}}\left( B_{n+1}\right)
=0:\mathrm{P}_{A_{n}}\left( C_{n+1}\right) =0$

$\mathrm{P}_{B_{n}}\left( A_{n+1}\right) =0$ (quand ils sont \`{a} une route
de distance, car ils se croisent ou ils s'\'{e}loignent

$\mathrm{P}_{B_{n}}\left( B_{n+1}\right) =\frac{3}{4}$ (ils se d\'{e}placent
tous deux dans le m\^{e}me sens ; horaire avec une probabilti\'{e} $\frac{1}{%
2}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ ou antihoraire, ou ils se croisent)

$\mathrm{P}_{B_{n}}\left( C_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$ (ils se fuient)

$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( A_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$ (dans le sens oppos%
\'{e} qui les r\'{e}uni)

$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( B_{n+1}\right) =\frac{1}{4}$ (dans le sens oppos%
\'{e} qui les rapproche)

$\mathrm{P}_{C_{n}}\left( C_{n+1}\right) =\frac{1}{2}$ (ils se d\'{e}placent
tous deux dans le m\^{e}me sens)

\end{enumerate}

\item $\left( A_{n},B_{n},C_{n}\right) $ est un syt\`{e}me complet d'\'{e}v%
\'{e}nements donc

$\mathrm{P}\left( A_{n+1}\right) =\mathrm{P}_{A_{n}}\left( A_{n+1}\right) 
\mathrm{P}\left( A_{n}\right) +\mathrm{P}_{B_{n}}\left( A_{n+1}\right) 
\mathrm{P}\left( B_{n}\right) +\mathrm{P}_{C_{n}}\left( A_{n+1}\right) 
\mathrm{P}\left( C_{n}\right) $

Donc $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2}c_{n}$ et de m\^{e}me

\begin{center}
\fbox{pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ : $\left \{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
b_{n+1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{4}c_{n} \\ 
c_{n+1}=\frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}c_{n}%
\end{array}%
\right. $
}
\end{center}
\textbf{N.B. V\'{e}rifier la coh\'{e}rence ! On doit avoir $a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} = 1$}

\item 
\begin{enumerate}
\item On a alors \ 
\begin{eqnarray*}
b_{n+2} &=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{4}c_{n+1} \\
&=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{4}\left( \frac{1}{4}b_{n}+\frac{1}{2}%
c_{n}\right) \\
&=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{16}b_{n}+\frac{1}{8}c_{n}
\end{eqnarray*}

et comme $b_{n+1}=\frac{3}{4}b_{n}+\frac{1}{4}c_{n}$ on a $%
c_{n}=4b_{n+1}-3b_{n}$ et donc 
\begin{eqnarray*}
b_{n+2} &=&\frac{3}{4}b_{n+1}+\frac{1}{16}b_{n}+\frac{1}{8}\left(
4b_{n+1}-3b_{n}\right) \\
&=&\frac{5}{4}b_{n+1}-\frac{5}{16}b_{n}
\end{eqnarray*}

\item La suite $\left( b_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ est donc r\'{e}%
surrente lin\'{e}aire du second ordre \`{a} coefficients constants.

Son \'{e}quation caract\'{e}ristique est $r^{2}-\frac{5}{4}r+\frac{5}{16}=0$
de discriminant $\Delta =\frac{25}{16}-\frac{20}{16}=\frac{5}{16}$ et donc
de racines $\displaystyle \alpha =\frac{\frac{5}{4}-\frac{r5}{4}}{2}=\frac{5-%
\sqrt{5}}{8}$ et $\beta =\frac{5+\sqrt{5}}{8}$

Donc pour tout entier $n:b_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}$ avec $A$ et $B$
solutions de

$\left \{ 
\begin{array}{c}
b_{0}=1=A+B \\ 
b_{1}=\frac{3}{4}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}A+\frac{5+\sqrt{5}}{8}B%
\end{array}%
\right. $ donc $\left \{ 
\begin{array}{c}
B=1-A \\ 
\frac{-2\sqrt{5}}{8}A=\frac{3}{4}-\frac{5+\sqrt{5}}{8}=\frac{1-\sqrt{5}}{8}%
\end{array}%
\right. $ et $\left \{ 
\begin{array}{c}
B=\frac{5+\sqrt{5}}{10} \\ 
A=\frac{5-\sqrt{5}}{10}%
\end{array}%
\right. $

\textsl{Conclusion : }\fbox{$b_{n}=\frac{5-\sqrt{5}}{10}\left( \frac{5-\sqrt{%
5}}{8}\right) ^{n}+\frac{5+\sqrt{5}}{10}\left( \frac{5+\sqrt{5}}{8}\right) =%
\frac{4}{5}\left( \alpha ^{n+1}+\beta ^{n+1}\right) $}

\item Et comme $c_{n}=4b_{n+1}-3b_{n}$ on a alors :%
\begin{eqnarray*}
c_{n} &=&4\frac{4}{5}\left( \alpha ^{n+2}+\beta ^{n+2}\right) -3\frac{4}{5}%
\left( \alpha ^{n+1}+\beta ^{n+1}\right) \\
&=&\frac{4}{5}\left( \left( 4\alpha -3\right) \alpha \cdot \alpha
^{n}+\left( 4\beta -3\right) \beta \cdot \beta ^{n+1}\right)
\end{eqnarray*}%
avec .%
\begin{eqnarray*}
\left( 4\alpha -3\right) \alpha &=&\left( 4\frac{5-\sqrt{5}}{8}-3\right) 
\frac{5-\sqrt{5}}{8} \\
&=&-\frac{1}{4}\sqrt{5} \\
\left( 4\beta -3\right) \beta &=&\left( 4\frac{5+\sqrt{5}}{8}-3\right) \frac{%
5+\sqrt{5}}{8} \\
&=&\frac{1}{4}\sqrt{5}
\end{eqnarray*}%
\textsl{Conclusion : }\fbox{$c_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5}\left( \beta
^{n}-\alpha ^{n}\right) $}
\end{enumerate}

\item \thinspace

\begin{enumerate}
\item Comme $\left( A_{n},B_{n},C_{n}\right) $ est un syst\`{e}me complet d'%
\'{e}v\'{e}nements, $a_{n}+b_{n}+c_{n}=1$ et 
\begin{eqnarray*}
a_{n} &=&1-b_{n}-c_{n} \\
&=&1-\frac{\sqrt{5}}{5}\left( \beta ^{n}-\alpha ^{n}\right) -\frac{4}{5}%
\left( \alpha ^{n+1}+\beta ^{n+1}\right) \\
&=&1-\alpha ^{n}\left( -\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{4}{5}\alpha \right) -\beta
^{n}\left( \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{4}{5}\beta \right) \\
&=&1-\alpha ^{n}\left( -\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right)
-\beta ^{n}\left( \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{5+\sqrt{5}}{10}\right)
\end{eqnarray*}
\textsl{Conclusion : }\fbox{$a_{n}=1-\alpha ^{n}\frac{5-3\sqrt{5}}{10}-\beta
^{n}\frac{5+3\sqrt{5}}{10}$}

\item Et comme $\left \vert \alpha \right \vert <1$ et $\left \vert \beta
\right \vert <1$ (car $2<\sqrt{5}<3$ ) alors $\alpha ^{n}\rightarrow 0$ et $%
\beta ^{n}\rightarrow 0$

\textsl{Conclusion : }\fbox{$\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=1$}

\item D'après la question précédente, la probabilité que deux personnes se retrouvent tend vers 1. Donc la probabilité que deux personnes ne se retrouvent jamais est nulle. Pourtant, cet évènement n'est pas impossible ! Comment cela se fait-il ? Réponse dans quelques semaines. 

\textsl{Conclusion : }\fbox{Les deux personnes se retrouveront presque
surement.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}